תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם

- 240491 מתמטיקה למדעי החיים 1 תקצרי הרצאות של פרופ רועי משולם הרצאה 2 מושגים בגיאומטרית המישור והמרחב 1 u u ( ) המישור האוקלידי: R} R { נקודת המישור נקראת ) ( נקראות וקטורים אורך הוקטור: ) ( נתון ע"י חיבור וקטור: ) ( u ( ) u u (5 4) u (4 ) (2,1)=(6,) כפל בסקלר: ) ( וקטור האפס: ) ( תכונות: המסומן המקיים קיים לכל ; 1 2 4 5 6 7 הצגה קוטבית: כל וקטור ) ( R ניתן להצגה יחידה θ r x y 1

ישרים במישור R: יהיו R דרך עובר ישר יחיד הצגתו הפרמטרית: הינה R+ ) R+ * ( * * + הקטע המחבר בין ל- נתון ע"י יהא הנקודה ארכו של הקטע כלומר כפול האורך המקורי - ) (, הוא, - משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה הנקודה מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1 הוכחה: יהיו קודקודי המשולש w w v מרכז הצלע -, הוא u w u v u u v w v v מרכז הצלע -, הוא u v מרכז הצלע -, הוא u / / / המכפלה הפנימית )מכפלה סקלרית ב- R(: תכונות: טענה: v u v u v u 2

הוכחה: לכן באופן יותר כללי, ניתן לבטא את הזווית בין שני וקטורים בעזרת המכפלה הפנימית, טענה: תהא α הזווית בין ל- u v α v α u הוכחה: לפי משפט הקוסינוסים α α לכן א"ש המשולש הוכחה: נסמן α ( ) לכן הצגה נורמלית של ישר: יהיו ) ( ויהא * α β γ + * (α β) γ+

הקשר בין ההצגה הנורמלית להצגה הפרמטרית: יהיה ישר הנתון בהצגה פרמטרית: * R+ * + הוכחה: אם ) (, - להיפך: אם ) ( ) ( כלומר ) ( כלומר דוגמא: * (5 7) R+ * ( 7 5) ( 7 5) + * 7 5 + 5 7 הטלה של וקטור על הישר לכל R נסמן ב- ) ( φ את יהא R v ההטלה של על הישר הנפרש ע"י α φ u (v) u נחשב במפורש את ) ( φ: קיים R כך ש- ) ( φ עתה: α 4

לכן φ לכן חישוב שטח מקבילית ע"י דטרמיננטה : ונסמן ב-( ( יהיו R את המקבילית הנקבעת על-ידי P(u v) v u * +, - 0 1 מחד תהיינה נסמן טענה: הוכחה: אם מאידק 0 1, - 0 1 לכן במקרה הכללי: w v u v u u u v u u / / 5

המרחב האוקלידי R הגדרות חיבור וקטורי, כפל בסקלר המכפלה פנימית עוברות ללא שינוי ומקיימות את התכונות שציינו ב- R v הטלה של וקטור על ישר: α u יהא R+ * הטלה φ R נתונה ע"י φ φ α, : φ הוכחה: α נסמן φ α α מאידק לכן v ( 4) u ( ) φ דוגמא: מרכז הכובד של טטראידר R יהיו קודקודי טטראידר ב- d טענה: הקטעים המחברים את הקודקודי למרכזי הכובד של הפיאות הנגדיות נחתכים נק' החיתוך הנ"ל מחלקות כל קטע b ביחס של :1 a הוכחה: c 6

4 4 ראינו כי מרכז הכובד של הפיאה הוא 4 4 4 4 4 4 4 4 4 לכן נמצאית על כל הקטעים הנ"ל [ ] [ ] [ ] [ ] מחלקות כל אחד ביחס של :1 המכפלה הוקטורית ב- R: R יהיו ) ( וקטורי היחידה הסטנדרטיים ב- לוקטורים ) (, נגדיר [ ] למשל טענה: א( ב( ג( הוא הוקטור היחידה המקיים: כוון נקבע עפ"י כלל הבורג הימני הוכחה: א( [ ] ב( 7

[ ] ) ( + כי * ) ( לכן ) ( a b b a מישורים ב- יהיו R: הצגות פרמטריות ונורמליות: R המישור עובר דרך נתון בהצגה פרמטרית ע"י w { R} u v *α β γ α β γ R α β γ +, שכיוונו ) ( מצד שני, אם R ניצב לנורמל בנקודה כלומר: * + { [ ] 6 7} דוגמא: יהיו ) ( 4) ( ) ( המישור שעובר דרכן ההצגה הפרמטרית של היא: *(α γ α β α 4β γ) α β γ + הנורמל למישור הוא: (4 ) 8

וההצגה של בעזרת נורמל היא: * (4 ) ( ) (4 ) + * 4 + 9

הרצאה 1 עקומים ומשטחים עקומים במישור: תהיה ) ( פונקציה של שני משתנים קבוצת האפסים של ) ( מגדירה עקום * R + דוגמאות: א אם ) ( פו' של משתנה יחיד הגרף של הוא העקום * + למשל הפרבולה או ) ( ב ) ( עבור גדול הגרף נראה כמו 11

* + ג מעגל : כל נקודות שמרחקן מ-) 0,0 ( הוא R אליפסה: כל הנקודות ב- R שסכום מרחקיהן משני מוקדים קבועים שווה ל- נמצא את משוואת האליפסה: ( ) ( ) ( ) / 4 4 ( ) 4 4 4 ( ) / נסמן / / 11

( b) P(x y) ( a ) F ( c ) F (c ) (a ) ( b) ה היפרבולה: כל הנקודות ב- R שהפרש מרחקיהן משני מוקדים קבועים שווה ל- P(x y) F ( c ) ( a ) (a ) F (c ) נמצא את משוות ההיפרבולה: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 4 4 ( ) ( ) 12

/ נסמן / / נשים לב שההיפרבולה אסימפטוטית לישרים y b a x y b a x הצגה פרמטרית של עקומים: עקום הוא אובייקט חד-מימדי ולפיכך ניתן להצגה )בד"כ( ע"י פרמטר יחיד כלומרקיימות פונקציות, - R {( ), -} כך ש- דוגמאות: א ראינו בשעור שישר במישור * + / R 2 (אם ( כאן 1

* + אם ב הוא גרף הפרמטר הטבעי: ג + ) *( פרמטריזציה אפשרית: )) ( ) ( ( t > t < t < t < t < t < ( ) : ד מעגל ברדיוס ( ) : / / אליפסה ה / / ו היפרבולה 14

γ(t) t t > γ(t) t < נגדיר ) γ < < ( מתאר את הענף הימני ההיפרבולה ) ( מתאר את הענף השמאלי ז לעיתים נתון רק תיאור פיזיקלי שלהעקום ועלינו למצא לו הצגה פרמטרית למשל ציקלואידה שהיא העקום המותווה נקודה הנמצאית על מעגל המתגלגל על ישר α γ γ γ / / γ γ 15

פונקציה וקטורית של משתנה יחיד עקומים ב- R וב- R מתוארים ע"י פונקציה וקטורית של משתנה אחד למשל ב- R ( ) רציפות: ) ( גזירות: רציפה אםם כל רכיביה רציפים גזירה אםם כל רכיביה גזירים ו ( ) חישוב הנגזרת של סכום, מכפלה בפןנקציה סקלרית, מכפלה פנימית ומכפלה פנימית הנגזרת של פו' וקטורית ) ( ב- היא כוון המשיק לעקום הפרמטרי בנקודה r(t ) r(t ) אם הישר המשיק לעקום ) ( בנקודה ) ( * R+ הוא דוגמא: ההליקס ( ) < < < אורך מסילה: טענה: הוכחה: r(t i ) לפי משפט ערך הבינים ( (α ) (β ) (γ )) לכן: עבור נקודות α β γ r(t i ) 16

( (α )) ( (β )) ( (γ )) / דוגמא: 17

הרצאה תנועה ב- R יהא )) ( ( מקום גוף נקודתי בזמן ( ) ( ) : : מהירות הגוף בזמן תאוצת הגוף בזמן : R החוק השני של ניוטון: יהא שדה כוח על הפועל על הגוף לכל ( ) משוואה זו מתארת תנועהת הגוף שמסתו תחת השפעת השדה חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון: גוף נקודתי שמסתו נימצא בראשית הצירים )שמש( שדה הכובד שמפעיל זה על גוף נקודתי אחר שמסתו ומקומו ) ( נתון ע"י m r(t) ( ) קבוע הכבידה האוניברסלי M חוקי קפלר: : נניח כי מסת השמש גדולה מאוד יחסית לכוכב א ב ג הכוכב ינוע סביב השמש במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה נסמן את מסלול הכוכב ב- +( ( * הוקטור ) ( מכסה שטחים שווים בזמנים שווים זמן המחסור מקיים כאשר הוא אורך הציר הארוך של האליפסה הערה היסטורית: קפלר ניסח את חוקיו ב- 1609 ע"פ תצפיות אסטרונומות של התוכן טיפו ברהה ושלו ניוטון הוכיח את חוקי קפלר ב- 1687, בעזרת נוסחת הכבידה האוניברסלית והחוק השני הוכחות ב: עובדה זו תלויה רק בכך ששדה הכובד הוא מרכזי, כלומר קיימת פונקצייה ממשית > ) ( כך שלכל : ( ) 18

r(t t) נסמן ב-( ( את השטח שמכוסה ע"י וקטור המקום בין זמן 0 לזמן A(t t) A(t) r(t) r ( ) ( ) לכן מאידך נסמן ( ) לכל, ולכן לכל הוא ) ( לכן ) ( ולכן ) ( קבוע לכל ולכן ) ( ) ( לכן השטח המכוסה ע"י וקטור המקום בין זמן לזמן ותלוי רק ב- 19

פונקציה של מספר משתנים גרפים של פונקציה במספר משתנים: R בהנתן R ו- * + הגרף של נתון ע"י דוגמאות: א ) ( הוא המישור המקביל למישור בגובה ב כמו שראינו הוא המישור ב- R, העובר דרך הנקודה ) ( וניצב לוקטור ) ) למשל אם הוא המישור הנקבע ע"י הנקודות ג פרבולואיר: הגרף של 21

ד אוכף: הגרף של ה ) ( הערה על ויזואילציה ע"י קווי גובה גבולות על פונקציות במס' משתנים: * < < + תהא ) ( מוגדרת על הקבוצה ε > נאמר ש - אם לכל < ε > ( ) < δ קיים > δ כך שאם כנ"ל המוגדרת גם על ) ( תבוא רציפה ב- ) ( אם טענה: נניח כי כנ"ל ונניח שקיימים הגבולות 21

( ) ( ) ואם ) ( בפרט: אם אם רציפות בנקודה ) ( גם רציפות ב-( ), וכנ"ל גם דוגמאות: א הגבול ב לא קיים: כי הגבול כאשר הוא וכאשר הוא ג { ) ( רציפה ב-( ( ( > > ) הגבול ד לא קיים: אם נקח 22

מאידך אם נקח חסומה ה נגזרות חלקיות: נתונה פונקציה בכמה משתנים ורוצים לחשב את קצב שינוי הפונקציה ביחס לכל אחד מהמשתנים למשל הזרם במעגל הוא פונקציה של ההתנגדות ושל המתח ) ( ורוצים להבין נוצר השינוי במתח בלבד משנה את ) ( הגדרה: ) ( תהא מוגדרת בסביבה של דיפרנציאביליות ומישור משיק לגרף תהא מוגדרת בסביבת ונניח ש- קיימות נסמן, z (x y ) משוואת המשיק לעקום (( ( ( בנקודה ) ( הינה 2

משוואת המשיק לעקום )) ( ( בנקודה ) ( הינה אם קיים מישור משיק ל- ולכן משוואתו היא בנקודה הוא בהכרח מכיל שני הישרים הנ"ל הגדרה: ) ( תקרא דיפרנציאבילית ב- ) ( אם: 6 7 24

הרצאה 0 דוגמא: 5 משוואת המישור המשיך לגוף {(( } בנקודה ) ( הינה 5 4 4 5 מישור משיק ל- ) ( ב- * 4 5+ קירוב ע"י הנגזרת: 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 4 ( ) { 4 :( 99 ) דוגמא: הערכה של ( 4), תהא ) ( 25

5 5 4 5 ( 99) 5 5 4 5 5 5 4 998 הגרדיאנט ותכונותיו / : פונקציה בשני משתנים ) ( / : פונקציה בשלושה משתנים ) ( :R () דוגמא: המוגדרת ב- ) ( זו נקראת "פוטנציאל הכבידה" תכונות הגרדיאנט: א ב ג ד לינאריות (α β ) α β גרדיאנט של מכפלה כלל השרשרת ) ( ( ( כלל השרשרת למסילות: )) ( (, תהא )) ( ( ( ) דוגמא: החום בנק' ) ( נתון ע"י חרק נע במסילה, קצב שינוי בחום בזמן : ( ) 26

( )/ ( ) R נגזרת כיוונית: ) ( גזירה ב- ( ) טענה: הוכחה: ( ) טענה: יהא וקטור יחידה, שוויון מימין אםם הוכחה: ) ( ) ( ) ( ) ( קווי גובה של ) ( הם העקומים + ) *( טענה: אם ) ( ניצב למשיק לעקום בנקודה ( ) הוכחה: אם )) ( γ( פרמ' של ולכן (γ) γ * + משטח גובה של ) ( הוא המשטח טענה: אם ) ( הוא הנורמל למשטח בנקודה הוכחה: יהא עקום על )) (γ( ולכן γ ( ) (γ) γ לכן ) ( ניצב לכל וקטור המשיק ל- בנקודה 27

דוגמא: ) 4 9 6 ( ( ) משוואת המישור המשיק ל-, ב- הינה (8 8 ) ( 6 8 6) ( 6 8 6) ( ) ( 6 8 6) 28

הרצאה 5 תהא ) ( פונקציה גזירה ויהא המשטח *( ) R+ כדור קטן ממוקם על בנקודה בעייה: נשחחרר את הכדור כך שינוע באופן חופשי על ינוע הכדור? כפןף אם ורק לכוח הכובד לאיזה כוון / פתרון: יהא הנורמל למשטח בנקודה המשטח, כלומק בכוון הכדור ינוע בכוון ההטלה של וקטור הכוח על / 4 5 P N כוון התנועה v כלל השרשרת הגרסא הכללית: : תהא ) ( גזירה ונניח כי הם פונקציות של ( ) נסמן משתנים ו- ) ( וכול' ל- עם מספר כלשהוא דוגמא: 29

( ) = ( ) ( 5) ( ) אקסטרמום של פונקציות במספר משתנים נזכר תחילה במקרה החד-מימדי < <, - טענה: ) ( תהא פונקציה גזירה בקטע בנקודה יש ל- ) ( מקסימום או מינימום מקומי ( ) הוכחה: משוואת המשיק לגרף של ) ( בנקודה הינה ולכן 0 אם מקסימום או מינימום המשיק ב-( ( הינו מקביל לציר ה- y x הגרסא הרב מימדית של הטענה הינה: טענה: ) ( אם פונקציה גזירה בקבוצה הפתוחה ויש לה מקסימום או מינימום מקומי ב- ) ( הוכחה: משוואת המשיק למשטח + (( * בנקודה ) ( כאשר ) ( הינה 1

אם ולכן מקסימום או מינימום, המישור המשיק למשטח ב- הינו מקביל למישור ה- 4 5 הגדרה: ) ( נרקאת קריטית אם הערה: הטענה נובעת גם ישירות מהמקר החד-מימדי: הוא מינימום מקומי של ) (, אם ) ( מינימום מקומי של ) ( בדומה לכן ) ( דוגמא: מצא את נפח התיבה המקסימלית המוכלת בתחום 2 / עלינו למצא את 2 כאשר (1,0) / נסמן / (0,0) (,0) / נשים לב כי אם או או לכן המקסימום מתקבל בנקודה פנימית ) ( { 9, נובע כי זו נקודת מקסימום בדוגמא זו יש נקודה קריטית יחידה ו- ) ( על השפה 1

מיון נקודות קריטיות: תזכורת: לפונקציות של משתנה יחיד, אם היא נקודה קריטית מינימום מקומי, מקסימום מקומי > < כאשר ) ( אי אפשר להחליט כדי להבין את המקרה הדו-מימדי נעיין בדוגמאות הבאות:, נסמן טענה: תהא > ) ( לכל אם > > (i) < ) ( לכל אם < > (ii) אם < מקבלת ערכים חיוביים ושליליים (iii) הוכחה: 4 5 אם > > אם שני המחוברים אי-שליליים < > שני המחוברים אי-חיוביים אם < ושליליים אחד המחוברים שלילי והשני חיובי והתבנית מקבלת ערכים חיוביים 2

R מסקנה: ) ( אם נקודה פנימית בתחום ו- נסמן אם => נקודת מקסימום > > => נקודת מינימום < > => נקודת אוכף > הוכחה: נכתוב 6 7 כאשר מאחר ו- ) ( נקבל, - הביטוי מימין תמיד אי שלילי ולכן נק' מינימום >, אם > הבטוי מימין תמיד אי חיובי ולכן נק' מקסימום >, אם <

הרצאה 6 דוגמאות:? א מהו שטח הפנים המינימלי של תיבה בנפח קבוע יהיו צלעות התיבה, ושטח הפנים הוא / ) ( עלינו, אם כן, למצוא את המינימום של הפונקציה * > )+ על התחום 6, לכן ) ( אפשר לבדוק ישירות שזו מאחר ויש ב- נקודה קריטית יחידה / נקודת מינימום אנו נשתמש בקריטריון הנגזרת מסדר שני כדי לוודא זאת: 4 4 בנקודה / נקבל [ ] 0 4 4 1 > ומאחר ו- נובע כי / נקודת מינימום 4 נתונם ב זוגות רוצים למצא כך ש- 4

) ( ) ( מינימלי, - לסדרה ) ( נסמן (, -, -, -) (, -, -) {, -, -, -, -, - { נכפיל את המשוואה השניה ב- -, ונחסיר מהראשונה: (, - (, -) ), -, -, -, -, -, - (, - (, -) ) לכן: {, -, - משוואת הקירוב הליניארי ל- ע"י היא:, -, -, - (, - (, -) ) (, -), - כופלי לגרנז': אופטימיזציה תחת אלוצים א( פונקציה בשני משתנים עם אלוץ יחיד מצא את מקסימום/ מינימום של ) ( תחת אלוץ טענה: אם נקודת מקסימום/ מינימום מקיימת הוכחה: )) ( γ( תהא פרמטריזציה של העקום γ ותהא היא נקודה קריטית של )) ( ( לכן ( ) 5

מאידך )) ( ( ולכן / γ מאחר ו - ) ( ו- ) ( ניצבים שניהם ל- הרי ש- עבור λ R כלשהוא λ זה נקרא "כופל לגרנזי" * + 4 דוגמא: עבור מצא את (6 8 ) ולכן כלומר 4 / 4 נציב באלוץ: 4 4 נק' מקסימום 4 ( נק' מינימום ) ( 4 ) ב( פונקציות בשלושה משתנים עם אלוץ יחיד g(p) נניח כי ) ( היא נקודת אקסטרמום של תחת האלוץ ) ( וכי ) ( P g S λ R כלשהוא טענה: ) ( עבור הוכחה: + ) *( יהא γ יהא )) ( γ( עקום על המקיים 6

( ) נק' אקסטרום על ולכן )*( γ מאידך )) (γ( ולכן )**( γ מ- מ- )*( נובע כי ) ( ניצב לכל וקטור המשיק למשטח למשטח בנקודה הוא ) ( בנקודה )**( נובע כי הנורמל לכן עבור λ R מסויים λ דוגמא: יהיו > קבועים מצא * + λ λ 4 / / / 5 ג פונקציה עם שלושה משתנים ושני אלוצים: נניח טענה: נק' קיצון של ) ( על העקום * + אם בלתי תלויים לינארית קיימים λ כך ש- λ γ הוכחה: ) γ( תהא פרמטריזציה של עם )) ( ) ( ( ולכן לכל γ γ מאחר ו- נק' קיצון של, הרי ש: (γ) 7

γ, כלומר לכן ) ( נמצא במישור הנפרש ע"י λ דוגמא: חשב * + λ ברור כי λ לכן 6 6 { ולכן לכן 4 5 נק' מקסימום 8

הרצאה 7 האנטגרל הכפול, -, - תהא ) ( פונקציה רציפה על המלבן, - תהא < < < חלוקה של הקטע < < < חלוקה של הקטע -,, - [ ] שתי חלוקות אלו משרות חלוקה של למלבנים מהצורה t j t j s i s i נסמןאת אוסף המלבנים הנ"ל } { ונגדיר + * האנטגרל של ) ( מוגדר ע"י על (*) כאשר מחשב את הנפח הכלוא בין המלבן * + *( ) + לבין הגרף 9

אגף ימין של )*( הוא סכום נפחי התיבות שבסיסן ] [ ] [ וגובהן סכום זה שואף לנפח שמתחת לגרף כאשר חשוב האנטגרל הכפול ע"י אנטגרל נשנה / טענה: הוכחה: [ ] 4 5 דוגמאות: א( [ ], - 0 /1 [ /] ב( [ ] [ ] 4 41

ג( 4 5, - ) ( +חלקים* )- (, אינטגרציה על תחומים כליים R תהא קבוצה חסומה ב- R עם שפה חלקה למקוטעין ותהא רציפה R יהא מלבן המכיל את ונגדיר ע"י { אחרת נגדיר: אפשר להראות כי האינטגרל באגף ימין קיים ואינו תלוי ב- דוגמאות: 8 4 9 יהא א [ ] 6 7 2 0 1 1 41

ב חשב את נפח הטטראדר שקודקדיו הם (0,0,c) 2 (0,b,0) / (0,0,0) (a,0,0) / [ / ] 6 / 7 / / [ / ] 6 (1,1) ג + ) *( 6 7 (0,0) (1,0) [ ] 42

הרצאה 8 שינוי משתנים באינטגרל הכפול φ תזכורת: תהא -, β- φ,α חח"ע על גזירה, - ותהא φ(α) רציפה על φ(β) β (φ)φ α,α β- הוכחה: α < < β תהא חלוקה של, - ) φ( φ < < חלוקה של (φ) (φ φ) *, -+ (φ) φ β (φ) φ (φ)φ α R המקרה הדו-מימדי: תהיינה חסומות ב- העתקה חח"ע על גזירה, רציפה על φ ברצוננו לבטע את ) ( בעזרת אינטגרל של פונקציה אחרת על וגמא חשובה: קואורדינטות קוטביות φ, ), - R ( ) 4

θ θ θ φ θ r r r r φ([, -]) ( ) { } תהא φ, -, - < < תהיינה < < {φ} המלבנים ] [ -, מהווה חלוקה ב- ולכן הוא חלוקה של φ (φ/ φ 44

φ ((φ) מסקנה: -, ), לכל * +, -, - { דוגמא: שטח עגול ברדיוס } האנטגרל הגאוסי: נסמן R [ ] לכן פונקצית הצפיפות הנורמלית: 45

דוגמא: θ (1,0) (2,0) D 2φ 4 4 [ ] 6 8 7 4 [ ] [ 8 ] 4 4 8 6 המקרה הכללי: φ ותהא R יהיו תחומים חסומים ב- חח"ע וגזירה φ ( ) ) φ( תבומתו: יהא -, -, ותהא φ(u Δu v Δv) v v φ(u v Δv) v φ φ(u Δu v) u u u φ(u v) ) )φ הוא בקירוב מקבילית שצלעותיה הן φ φ ( ) φ φ ( ) ) ( לכן ) ( 46

φ [ [ ] [ ] ] φ [ ] נסמן נקרא היעקוביאן של φ φ נוסחת חלוץ המשתנים באנטגרל הכפול: ( ) φ, -, - הוכחה: נניח כי הוא מלבן < < תהיינה < < -, נסמן חלוקות של -, ושל, - [ ] הוא חלוקה של לחלוקות הדומות למקביליות {φ} ) (φ/ φ φ/ ((φ) φ 47

דוגמאות: φ ( ) אם א φ, -, - R φ 0 1 ומקבלים את הנוסחא שראינו קודם: (4 ) ( ) יהא ב D 4 (4 5 ) חשב, -, - φ 04 1 9 4 4(4 ) ( ) 9 9 5 9 9 5 7 9 7 5 y 4x B y x xy 4 חשב ג xy 4 { 4 4 מקיימות כלומר לכן טבעי להגדיר, 4-, 4- כך ש- )) ( φ( מקיימת / כלומר 48

φ 6 7 לכן 4 4 / 4 4 4 5 6 49

משוואות דפרנציאליות תופעות רבות בכל תחומי החיים, בפיזיקה כימיה ביולוגיה כלכלה, מתוארות ע"י מודלים מתמטיים המתארים קשרים בין משתנים שונים ונגזרותיהם, דהיינו ע"י משוואות דיפרנציאליות דוגמא: נפילה חופשית באטמוספירה קרוב לפני הים: = משתנה הזמן; נמדד בשניות מהירות העצם בזמן ; נמדד ב- מטר - שניה = קבועים: מסת הגוף בקג"מ תאוצת הכובד ביחידות קבוע העילוי ב- קג שניה מטר שניה = 9 8 = γ את הכוח הפועל על הגוף בזמן וה את תאוצתו בזמן נסמן ב- ) ( לפי חוק ניוטון: { )*( γ לכן דוגמא: γ קג שניה ק ג )**( 9 8 5 שדה כוונים של ) ( מתקבל הפונקציה ) ( מקיימת ע"י סימון חץ קטן ששיפועו ) ( בנקודה ) ) אם 51

הגוף של ) ( עובר בנקודה ושיפועו שם הוא = כוון החץ המסומן ב-( ) נשים לב כי במקרה שלנו ) ( 8 9 אינו תלוי ב- נפתור את המשוואה )**(: 9 8 5 5 9 8 5 / לכן 5 9 8 5 9 8 5 5 5 כלומר 49 במקרה הכללי )*( נקבל 9 8 γ γ γ / לכן γ γ כלומר γ תהא לכן γ γ γ 51

γ γ γ כל עקום מתאר פתרון למשוואה אם < יורד ל- γ γ γ אם > עולה ל- דוגמא: יהא באחו חיים בצוותא ינשופים ועכברים: משתנה הזמןבחודשים ) ( = מס' העכברים בזמן כל הינשופים אוכלים ביחד 45 עכברים בחודש קצב הגדול של אוכלוסיית העכברים הוא עכבר 5 חודש המשוואה המתארת את האבולוציה של ) ( הינו 5 45 שדה כוונים של המשוואה: נפתור המקרה הכללי: לכן 52

> כאשר ) ( אם מס' העברים יורד מעריכית אם < מס' העברים עולה מעריכית המשווה הלוגיסטית המשוואת ההתרבות ) ( תקפה לגורל אוכלוסיה קטן כאשר גודל אוכלוסיה התחרות עלמזון גדול, יש להביא בחשבון שקצב ההתרבות יקטן בגלל )למשל( מודל פשוט להביא בחשבון תופעה זו הוא שקצב ההתרבות תלוי גם ב- המשוואה האוטונומית המתקבלת היא: / ונתון ע"י / שדה כוונים של המשוואה: שים לב השפוע המירבי מתקבל ב- והינו נפתור המקרה הכללית המשוואה: / ( ) 5

לכן / לפיכך כל הפתרונות שואפים ל- כאשר נקרא ה"קבול האקולוגי" של המערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון הצורה הכללית של משוואה לינארית מסדר ראשון הינה ראינו כיצד לפתור משוואה זו כאשר ) ( קבועים א"י אינטגרציה ישירה: < גישה קצת אחרת שמאפשרת גם לפתור את המקרה הכללי היא בעזרת "גורן אנטגרציה": נניח ש- ) ( מקיימת )**( נכפול את שני צידי המשוואה )*( ב- : 54

אבל אגף שמאל הינו ) ( לכן נקח מקיימת )**( ולכן שיטת גורם האינטגרציה מאפשרת לפתור את המשוואה הלינארית הכללית מסדר ראשון דוגמא: לפתור את 8 4 4 פתרון: נמצא גורם אנטגרציה : הוא צריך לקיים נכפול את המשוואה ב- 4 4 לכן 55

הרצאה 9 משוואה לינארית הכללית מסדר ראשון גורם אנטגרציה צריך לקיים / כלומר ( ) [ ] דוגמא נוספת: לפתור את 8 פתרון: נכפול את המשוואה ב- ומוצאים את לפי תנאי ההתחלה משוואות פרידות: נניח טענה: ) ( פתרון למשוואה ( ) 56

נניח ( ) הוכחה: ( ) ( ) דוגמא: ( ) לכן v דוגמא: רדיס כדור הארץ מרחק של העצם מפני כדור הארץ x w R 57

כאשר : גובה מקסימלי : כלומר כדי שהגוף יגיע לגובה המהירות התחילית צריכה להיות מהירות ההמלטות ( velocity ) escape מכוח המשיכה של כדור הארץ היא לפיכך תזכורת מאלגברה לינארית תהא 0 1 מטריצה ממשית, הפיכה ו הפיכי נתון ע"י 0 1 / 0 1 R R נראה את כהעתקה ע"י זו היא לינארית (α β ) α β λ אם, λ הוא וקטור עצמי של עם ע"ע R נסמן ב- (λ) את הפולינום האופייני של 58

(λ) ( λ ) (λ) λ ע"ע של צורת ז'ורדן למטריצות תהא 0 1 מטריצה ממשית יהא הפולינום האופייני של (λ) ( λ ) λ λ אם ל- א שני ע"ע שונים קיימת הפיכה כך ש: [ λ λ ],λ λ ותהא -, הוכחה: יהיו הפיכה ומתקיים הוקטורים העצמיים המתאימים לע"ע, -,λ λ -, - [ λ λ ] [ λ λ ] [ λ λ ] ולכן 0 7 4 8 5 1 דוגמא: (λ) ( λ ) 7 λ 4 8 5 λ λ λ (λ )(λ ) λ λ 0 1 0 1 לכן הע"ע עם ו"ע 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 אם ל- ע"ע יחיד כלומר λ λ λ [ λ λ ] I ב 59

ו"ע המתאים ל- λ אפשר להראות כי קיים כך ש- יהא [ λ λ ] II ( λ ) λ כלומר נסמן -,, -,λ λ -, - 0 λ λ 1 0λ λ 1 [ λ λ ] ולכן 0 1 דוגמא: (λ) ( λ ) λ λ λ 4λ 4 (λ ) λ λ λ לכן הע"ע יחיד λ יהא 0 1 ו"ע המתאים ל- 0 1 0 1 נפתור ) ( למשל 0 1 0 1 0 1 0 1 ג אם ל- שני ע"ע מרוכבים שאינם ממשיים λ λ α β יהא המתאים ל- (β α) ו"ע (α β) (α β ) ( β α ) α β β α α β, -, -,α β β α -, - [ β α ] α β [ β α ] [ α β β α ] ולכן 61

0 5 1 דוגמא: (λ) ( λ ) λ 5 λ λ λ 5 λ לכן הע"ע λ λ 0 4 4 1 ( λ ) 0 1 0 1 0 1 0 1 לכן 0 5 1 0 1 0 1 0 1 הפונקציה המעריכית של מטריצות למשתנה יחיד : למטריצה כלשהיא נגדיר: דוגמאות: א 6 λ ולכן: λ 7 [ λ λ ] 6 λ λ 7 [ λ λ ] [ ] [ λ λ ] [λ λ λ ] 6λ 7 [ λ λ ב ] λ 61

[ λ λ λ ] [ ] [ λ λ λ ] [ ] 0 1 אם ג [ β β ] β, 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ד β (β ) (β ) 4 β β β β 4 β 5 4β β β [ β β 4 5 β β 5 β β β β ] 5 [ β β β β ] ה משוואות דפרנציאליות לינאריות במישור תהא 0 1 מטריצה קבועה ממשית נדון במערכת המשוואות )*( [ כלומר ] ) ( מקיים טענה: הפתרון הכללי של )*( הינו 62

הוכחה: יהא ) ( / [ ] להיפך: נניח ) (, כלומר לכן ) ( דוגמאות: 0 1 0 1 0 1 0 7 4 א 8 5 1 ראינו כי 0 1 0 1 0 1 0 1 אם תנאי ההתחלה הוא ) 0 1 ( 0 1 0 4 1 0 ב 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ראינו כי ] [ 1 0 לכן 0 1 [ ] 0 1 6

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 [ ] 0 1 לכן הפתרון הכללי של ) ( הוא / למשל אם ) 0 1 ( / / / ג ראינו כי 0 5 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 [ ] 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5 1 לכן פתרון המשוואה עם תנאי התחלה ) 0 1 ( הוא / / משוואות לא הומוגניות תהא מטריצה ממשית נעיים במשוואה 0 1 נחפש פתרון בצורה ) ( 64

כלומר ) ( דוגמא עם ע"ע שונים: )*( 0 1 0 1 הפתרון של המערכת ההומוגנית מתקבל באופן הבא: 0 1 ע"ע ל- עם ו"ע 0 1 ע"ע ל- עם ו"ע 0 1 0 1 לכן פתרון כללי ל- : הפתרון למערכת הלא הומוגנית )*( מתקבל ע"י 0 1 0 1 נמצא את ) ): 0 1 0 1 ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 מקבלים { { { 9 65

הרצאה 24 צורת ז'ורדן למטריצות (λ) השורשים של λ λ, (λ) ( λ ) 0 1 λ :λ λ א λ ממשיים יהא הוקטורים העצמי המתאים ל- [ λ λ ] -, מקיימת: [ λ λ ] כלומר [ λ λ λ λ ב ] λ ב יהא [ λ ב ] λ ו"ע המתאים ל- λ יהא המקיים ( λ ) תהא -, λ λ כלומר, -, - 0 λ λ 1 0λ λ 1 [ λ λ ] ולכן ו"ע המתאים ל- (β α) יהא ג (β ) λ λ α β (α β) (α β ) ( β α ) נסמן -, α β β, -, - [ ] [α β α β α ] [ α β β α ] ולכן 66

הפונקציה המעריכית של מטריצות תכונות: א אם ב ג הפונקציה המעריכית של צורות ז'ורדן: [ λ λ ] [ λ λ ] [ λ λ ] 0λ λ 1 0 λ λ 1 λ 0 1 β [α β α ] α β [ β α ] [ β β β β ] מערכת של משוואות דפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועיים טענה: הפתרון של המערכת המשוואות הוא עבור ) ( R שרירותי פורטרט הפאזה של מערכת הומוגנית יהא R הוקטור ) ( מתאר פתרון של המערכת אוסף כל העקומות הנ"ל נקרא פורטרט הפאזה של מערכת נמיין את פורטרטי הפאזה האפשריים לפי צורת ז'ורדן: א 0 1 כל ) ( הוא קבוע 67

ב (λ ) 0 λ λ 1 > λ < λ [ λ λ ג ] שלושה מקרים: {, λ > λ > 1 [ ] < λ λ < כנ"ל עםכווני חצים הפוכים 2 68

λ > > λ מקרה > :λ ד ) 0 λ λ 1 0 1 0λ λ 1 ( < λ כנ"ל עם כווני חיצים הפוכים [, כלומר מעגל ברדיוס ) ( β β β β β β β ] 0 1 [α β α ] β 1 אם α β ה 69

α < 2 > α כנ"ל עם כווני חיצים הפוכים שימושים: משוואת הומוגנית אחת מסדר שני ניתנת לרדוקציה למערכת של שתי משוואות מסדר ראשון: 8 8 0 1 תהא נגדיר כלומר דוגמא: מסה תלוייה על קפיץ שאורכו נסמן ב- את קבוע הקפיץ בשווי משקל בתנועה שווי משקל 71

בכוח הפועל על המסה: ( ) כלומר ) ( שוות לפי חוק ניוטון ל- ) ( נכתוב ) ( { [ ] עם ע"ע, הו"ע המתאים ל- (λ) λ 6 7 הוא המקיים 0 1 [ ], [ ] [ נקח ] 0 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4 5 4 5 לכן הפתרון הכללי ל- ) ( הוא 71

: משוואת ביער חיות שתי אוכלוסיות, הארנבים והשועלים הצמחיה ביער מספקת מזון לארנבים, ואילו השועלים מתקיימים מציד ארנבים נסמן ב- ) ( את מס' הארנבים בזמן, וב- ) ( את מס' השועלים בזמן ברצוננו לתאר את הדינמיקה של ) ( בהנחות הבאות: א ב ג אם אין שועלים, כלומר, ) ( עבור קבוע >, כלומר אוכלוסיית הארנבים תגדל בקצב מתכונתי לגודלה אם אין ארנבים, כלומר, ) ) עבור >, כלומר אוכלוסיית השועלים קטנה בקצב מתכונתי לגודלה מס' ההתקלויות בין ארנבים לשועלים מתכונתי ל- ) ( כל התקלות כזו מפחיתה α מ- ) ( ומוסיפה γ ל-( ( : המערכת המתקבלת ממודל זה נקרת משוואת α γ > { α ( α ) γ ( γ ) דון במערכת זו עבור דוגמא ספיציפית של α γ והמקרה הכללי ניתן לנתח באופן זהה { 4 4 { ( ) נקודת שווי משקל המערכת: לינאריזציה סביב נקודת שווי משקל: בסביבת ) ( המערכת ניתנת לקרוב ע"י המערכת הלנארית { 4 שהפתרונה הכללי הוא )**( ( ) 72

הפורטרט הפאזה של )*( ניתן לקרוב בסביבת (0 0) ע"י פורטרט הפאזה של )**(, כלומר בסביבת (2 )נקרב את המערכת )*( באופן הבא: יהא ( ) 4 5 ( ) / { 4 4 4 4 4 ( )5 4 נקרב מערכת זו ע"י { [ ] 0 1 0 1 כלומר הו"ע המתאים ל- הוא λ (λ) λ 0 1 [ ] [ ] 6 7 [ ] [ ] 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 [ ] לכן הפתרון הכללי של )***( הוא { 4 4 5 4 5 5 4 5 7

פורטרט הפאזה של ) ( הוא { דרך פשוטה יותר לקבל את פורטרט הפאזה של נכפול ונקבל לכן / / כלומר הקרובים הלינאריים הנ"ל נותנים קירוב לפורטרטי הפאזה של המשוואה המקורית בסביבת שתי נקודות שווי המשקל נתאר להלן את הפתרון המדוייק: { 4 4 4 4 4 4 4 4 כלומר אפשר להראות כי ) ( קמורה ולכן הוא עקום סגור לכל 74